DDS004-「數學方程式之美」

        我「數學」不好（注意：我沒說我「的」數學不好，有慧根的讀者，當能體悟此兩者間的差異），但卻糊裡糊塗的走上了「科研」這條路，一路走來除了備感艱辛，也難期有大成。你會說：既然如此，憑什麼還來誃談「數學方程式之美（the beauty of mathematical equation）」？我只能說：一個長的醜的人，難道就不能有審美的觀念嗎？！要知道，追求美好的事物，是人的基本天性，也是一種基本權利。難道說一個人因沒「達文西（Leonardo da Vinci）」的繪畫能耐，畫不出那「蒙娜麗莎的微笑（Mona Lisa）」巨作，你就可以不讓他觀賞該畫作嗎？！其實，「讚賞」是人必備的優美德行之一，懂得讚賞別人（包括他的成就），進而從中學習，你大概就成功了一半。有了這種思想武裝，來給自己壯膽，再加上「愛因斯坦」名言「別擔心你數學搞不來，我比你更慘（do not worry about your difficulties in mathematics, I assure you that mine are greater.）」的鼓舞，我這就粉墨登場，來談談我個人所能感受的「數學之美」。

開始前，先給未來想從事科研工作的年青朋友一個忠告：「一定要把數學學好」，因為，誠如「培根（Roger Bacon; 1561-1626 AD）」所言：「數學是通往科學之門鑰（Mathematics is the door and key to the sciences）」。事實上，數學是人類最嚴謹的語言，也是最通行的語言。1 +1 = 2 ，在全世界不分種族地域都永遠是1 +1= 2 ，也就是David Hilbert (1862-1943 AD) 說的「（Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country ）」，就「數學」而言，文明的全球只是「一國」。這其中尤以「數學方程式（mathematical equation）」，最為引人入勝，因為它能把繁複的自然現象，理性的抽離出來，以最簡約的方式加以表達。

在所有這些「方程式」中， 以「愛因斯坦」的有關質能（mass and energy）互換的 E = mc²，最為經典，也是歷來科學界公認最優美的方程式。話說，1905年是「愛因斯坦」，在他一生科研工作上，成果最豐碩的一年（Annual mirabilis），這一年他一共發表了四篇，堪稱奠定後代物理學和天文學根基的巨作：「光電效應（Photoelectric Effect）」，「布朗運動（Brownian motion）」，「狹義相對論（Special Relativity）」和 「E = mc²」。其中「E = mc²」即為其一。

巧合的是，今年1月29日LiveScience 經由全球物理學家、天文學家、數學家共同票選出了11個「最優美的數學方程式（the most beautiful mathematical equations）」，強調這些方程式，不只在科學上具有深厚的科學意涵及實用性，更重要的是它簡約如詩般的結構形式。在這11個最優美的數學方程式中，「廣義」和「狹義」相對論的代表方程式，分別被評為第一和第六名。另外，前文（DDS003-04052013-2013 年 Pi Day）提到的「標準模型（the Standard Model）」，其代表方程式也被評為第二名。因此，以下謹就這三個方程式及其物理意涵做一簡介，希望讀者能從中感受它們「美」之所在：「簡單就是美」。

（一）「廣義/一般相對論（general relativity）」（Picture CREDIT: Shutterstock/R.T. Wohlstadter）

這個公式革命性的改變了，傳統上科學家們對「重力（gravity）」的看法，也就是說，透過這個簡扼的公式，「愛因斯坦」巧妙的把「重力」這種我們日常生活中所熟知的自然現象，連結到另一種超乎我們所能想像的「時空結構（the fabric of space and time）」中。質言之，所謂的「重力」，不過只是反應「時空結構」在「曲伏狀態（wrapping）」下的一種現象。公式的左邊代表的是宇宙的「時空幾何形貌（the geometry of space-time)」，右邊代表的是「宇宙的總能量（the energy content of universe）」（註：這總能量也包含了所謂的「暗能量（dark energy）」，我以後會再以專文來介紹它），而等號則清楚告訴我們：「質量」和「能量」共同決定了「時空的幾何形貌」。

（二）「狹義/特殊相對論（special relativity）」（Picture CREDIT: Shutterstock/optimarc）

「愛因斯坦」在其「狹義相對論」中，想要傳達的重要訊息就是：「時間（time）」和「空間（space）」，這兩個我們日常熟知的概念，其實不是「絕對的（absolute）」，而是「相對的（relative）」，其變量端看觀察者移動的速度快慢而定。例如，依以上公式，當觀察者以不同速度移動時，其時間會有不同程度的增長（time dilation），即其時間會變慢下來。這個公式的神妙及「美」在於：它完全沒有繁複的數學符號和運算（任何一個國中程度的學生都能利用此公式來計算），但卻能顚覆了百年來「牛頓運動力學」的傳統看法，也同時提供我們對宇宙時空的嶄新思維和視野。

（三）「標準模型（standard model）」（Picture CREDIT: Shutterstock/R.T. Wohlstadte）

不要小看這個「標準模型」的代表公式（我承認是有點複雜），它把所有組成宇宙萬物的17 種「基本粒子（fundamental particle；見前文DDS003-04052013-「2013 年 Pi Day」）」和除了「重力」以外的其他三種存在自然界中的力（即電磁力，強力和弱力）整合在一起〔註一：這三個「力（forces）」中的「電磁力（the electromagnetic force）」可以無遠弗屆，而「強力（the strong force）」和「弱力（the weak force）」僅能及於次原子之距離範圍內；註二：這三個「力」均有賴不同的「玻子（boson）」傳遞，其中「電磁力」是由「光子（photon）」為載具，「強力」則由「膠子（gluon）」傳載，而「弱力」需藉「w-玻子（w-boson）」和「z-玻子」（z-boson）來傳遞〕。換句話說，藉由此公式，「標準模型」成功的把「量子力學（quantum mechanics）」和「狹義相對論（special relativity）」完美的結合在一起。值得注意的是，前文（DDS003-04052013-「2013 年 Pi Day」）提到的「奚氏玻子（Higgs boson）」，在此公式中以 phi（Ф）的符號代表之。

        最後，假如你我都是「數學」白痴的話，那就讓我們看看下面這幅卡通笑話（source: Mrs. DeCrosta；https://www.smore.com/k2g0-mrs-decrosta）自娛吧！