DDS039-「2014年的 Pi Day」

時光飛逝，自去年三月我開始撰寫這個「布落格/博客（blog）」以來，轉眼間已屆一年，累積閱讀人次，已超過 12,325 人次，平均每篇㸃閲人數為 325 人，最高紀錄為 636 人，在此謝謝大家的支持，特別是有許多讀者，適時給了我許多寶貴的意見和指正，也再三致上我由衷的感激和謝忱，說實話，沒有你們的熱烈迴響和呵護，我個人是無法支撑這麼久的。

回想第一篇短文，肇始於去年的三月十四日，即所謂的「Pi Day」，它的意義有三：一是，這三月十四日，正巧是圓周率（π）的最佳近似值（3.14）；二是，這一天為「愛因斯坦」的生日；三是，那一天也是「奚氏玻子（Higgs Boson）」首度被實驗證實存在旳日子（參見 DDS001、DDS002、DDS003）。無獨有偶，同樣的三月，今年（三月十七日），科學家們成功偵測到「宇宙大爆炸（the Big Bang）；參見前文DDS006 和 DDS007」時的光波圖樣（light-wave pattern），如同去年「奚氏玻子」的發現，導致以「奚格斯（Peter Higgs）」教授為首的科學團隊，獲頒去年的「諾貝爾物理學獎」，論者咸信，今年這項難能的發現（discovery），也很可能贏得今年的「諾貝爾物理學獎」。

當然是否真能贏得這項「諾貝爾物理學獎」的科學桂冠是一回事，最重要的是，這代表二十五年來，天文學上最偉大的一項突破（上次是確認宇宙不但持續在膨脹，而且是加速膨脹；參見前 DDS027 文），讓我們對宇宙的起源（甚至萬物包括我們人類為何存在），能有更進一步的了解。這項突破，也頓時迎來所有媒體的關注和報導（台灣媒體當然也不例外，其中部分原因，固是因為該科研團隊中，有位來自台灣的美籍學者）。有關這項科學成果的介紹，容我在往後的短文中，再為大家詳細説明。

趁著現在還是三月天，讓我們就先回到「Pi Day」和「愛因斯坦」這個主題上來。在我近來的閱讀中，驚然發現，有一作者（Sean Carroll），以「愛因斯坦和 Pi（Einstein and Pi）」為題，發佈在網路上的短文（Reference and credit: http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/03/13/einstein-and-pi/），對「廣義相對論」公式中「π」的由來，做了一個鞭闢入理，但又淺顯易懂的解説，堪稱「科普」的經典之作，也讓我興起將它整理改寫的念頭，以與讀者分享。當然，有興趣也有起碼語文和數理能力的讀者，不妨逕自上綱查閲該文，相信你的體悟會比不材的我更深。我常想，一個真正的好科學，就是那些能以最簡單的數理公式，說明一個繁複的物理現象，而一個真正的好學者，就是能將繁複數理公式，背後所代表的事物真相，以最平易的方式予以表達。

在未正式介紹該文的實質內容前，容我先説一下我的另一個感想（算是一種讀後心得吧），那就是，「愛因斯坦」的偉大和迎得世人的推崇，其實並不在於他的科學成就（如「狹義/特殊」和「廣義/一般」相對論等），而是在於他能善用已知的數理參數，來譂釋新的物理現象。最有名的例子，就是大家耳熟能詳的 E = mc² 這個方程式，質量（m）蕴含能量（E），這在科學界是大家早已習知的事，但要把兩者勾串在一起，還需要一個參數/常數（parameter/constant），「愛因斯坦」的厲害就在這裡，他利用當時已知的光速（c）做為常數，推演出 E = mc² 這個現今大家耳熟能詳的方程式，説起來，他只用了三個數理符號，就道盡了宇宙亙古千百事，你能不服氣嗎？！

同樣經典的是，其「廣義相對論」中的「引力」公式（見下）。這公式窄看之下似乎相當複雜，特別是那些奇奇怪怪的符號，到底代表的是何方神聖？讀者老爺，你先別急，就把這公式當做是某種你不懂的外語，你只要知道它到底在説什麼即可。

事實上，這公式只是想告訴你：

「引力（gravity）」= 8 π G x「能量（energy）和動量（momentum）」

也就是説，「引力」是「能量和動量」的函數，其關係常數為「8πG」，其中 「G」為牛頓的「萬有引力常數」。即以此公式而言，你應該已發現其中有個「Pi（π）」出現了，因此，我們要問的是：同樣談的是「引力」，為什麼當我們從牛頓的「引力」，轉換成愛因斯坦相對論的「引力」時，卻平白無故的跑出了個 π（即圓周率）來？

要回答這問題，其實也不難，讓我省略掉繁複的數理公式演算，直接用白話文來告訴你，其中幾個最關鍵的基本概念。首先，你知道牛頓的「引力」公式為：

其次，任何兩物體間，彼此所引發的「引力場（the gravitational potential field；通常以「 Φ 」來標記）」為：

到現在，你還沒看到「π」出現在公式裡，先別急，這主要是因為，我們目前還只是針對單一個物體的「引力」效應，要是我們探討的是許多物體，同時呈現在三維空間中，那它們彼此間相互影響的「引力」，就必須涉及每單位體積中呈現的質量（稱為「質量密度（mass density）」；通常以「ρ」表之），將這「引力場（ Φ ）」和「質量密度（ρ）」間的關係，以 Poisson’s equation 表之，即可得以下公式：

這下，你看，盼了半天，「π」總算出現了，至於公式中那倒三角形符號（稱為 gradient operator），只是一種數學運算上的轉換，主要是用來描述「引力場」在三維空間上的變動方式。最後，你當然不要忘，既然是探討三維空間中，各個物體間的相互「引力」效應，你可以把每個單一物體，視為一個球體的中心，向外延伸若干距離（r；即該球體的半徑），此時該球體的表面積（A）為：

㯫此，「愛因斯坦」發現，要描述「引力」這個現象，不要單單從兩物體間的作用力來看（即「牛頓」的看法），應以「引力場」的概念來理解，而這「引力場」的計算，又必須透過球面的積分，加總而來，既然如此（因扯上了球面），那當然就和「π」成正比了，也就是如其「廣義相對論」中的「引力」公式所示。

         回到文首「愛因斯坦」的「引力」公式，你也可以發現，左邊的常數為 「8πG」，其實「愛因斯坦」在推導這「引力」公式時，大可自己再創造一個新的參數符號，來代替此「8πG」，但是他並沒有這樣做，還是借用大家習知的參數「π」和「G」，你説他慧黠睿智也好，他本性純良也好，總之，這種純一的人格特質，才是我們後輩學者，理應師法的為學態度。謹以此文，追念今年「愛因斯坦」第 135 歲的生日（三月十四日；Pi Day）。

DDS038-「黑洞（III）」

（承前文）因此，近來科學家又提出另外兩種看法：（4）這類「黑洞」，很可能是在早期宇宙演化過程中，不同銀河系間的相互碰撞，使得其原本各自有的「黑洞」，相互結合、融聚在一起而形成的。例如（見下圖；為畫家筆下所描繪的圖像；credit：NASA），新近（去年 12 月 10 日發表於 Astrophysical Journal 期刊上）科學家發現，位在離我們地球 38 億光年遠處（代號為 WISE J233237.05-505643.5），有一共伴「黑洞」，正在相互纏繞，逐漸形成一超巨大質量的「黑洞」（supermassive black hole）。〔註：WISE 為美國航太總署 Wide-field Infrared Survey Explorer 的縮寫。〕另也有學者指出：（5）要有這類「超巨大質量的黑洞（supermassive black hole）」，在其形成窄始時，就必須要有一個「超巨大質量的星體（supermassive star）」存在，然後如同前面所述的單一星體一樣，這些巨大質量的星體，經由逐步、重複冷卻和塌陷，且不斷地吞噬、吸入周邊的物質，最終形成了我們今天所能偵測到的這些「超巨大質量的黑洞」。

讀者老爺千萬不要小看以上這些不同的看法，以為它們只是「想之當然爾」，要知道「科學」可是要講「證據」的，這些不同假說的背後，當然都有紮實的科學依據，就以第（5）種說法為例，科學家們利用觀測（主要是「重力波（gravitational wave）」為主）和數值模型推演，發現在此「超巨大質量星體」的形成過程中，由於其超巨大「引力」所造成的快速旋轉（spinning），在其周遭先形成一密度不均的渦旋，此渦旋再經聚合、塌陷，形成兩個較小的「黑洞」，再由此兩「黑洞」逐步聚合，才形成今天所偵測到的這類「超巨大質量黑洞」。下圖（credit：Christian Reisswig/Caltech）所示，由左上至右下，即是此類「黑洞」，在不同階段的演化過程，其中藍色的深淺，分別代表的是密度的高低，而最終右下圖幅中的白色中心即是「黑洞」所在之處。

此外，「黑洞」其實也可視為宇宙中物質和能量的滙集區（sink），由於它的存在，把周遭相鄰的物質甚或星體逐步吞噬殆盡。但是，在科學家們觀測，體積大小、質量不同的各種「黑洞」，發現除了在其周圍有一「增生碟狀渦旋（即 accretion disc）」外，在「碟狀渦旋」的中心處，也往往伴生一垂直的柱狀噴出物（主要由高能量的粒子組成；見下之示意圖，from：http://scienceblogs.com/startswithabang/2010/09/10/q-a-how-can-anything-come-from/ ）。好奇的讀者，可能馬上會說，這怎麼可能呢？因為，即然「黑洞」所造成的「引力」是如此巨大，那又怎麼可能有這些噴出物呢？

事實上，依霍金（Stephen Hawking）博士的說法，這些粒子並非來自「黑洞」的內部，而是來自其「event horizon」的外圍。此外，依「量子理論（quantum theory）」的說法，宇宙間的所有次原子粒子（subatomic particles），均可分為「負質量粒子（negative mass particle）」和「正質量粒子（positive mass particle）」兩種，前者在進入「event horizon」後，即被「黑洞」的巨大引力所吞噬，而後者則由「黑洞」以「輻射（radiation）」形式激射出來，形成前面所說的噴發物（jet），這種噴射出來的輻射，稱之為「霍金輻射（Hawking radiation）」。反觀那些「負質量粒子」，科學家們咸信，在它們進入「黑洞」後，能把「黑洞」內部的質量逐步吞噬殆盡，導致「黑洞」的塌陷（collapse）和之後的爆炸（explore），甚至毀滅。當然，有關這部分的進一步深入解釋，因牽涉到更複雜深奧的「量子理論」，非我能力可及，就此打住。有趣也姑且聽之的是：有人說，「世上懂得「相對論」的只有三個人，而懂得「量子論」的只有兩個人」，我當然不是這二、三人，讀者也就可以原諒我的能奈有限了。

雖然與「黑洞」伴生的噴出物，長久以來，已被證實，但是讓天文學家一直深感困惑的是，像我們銀河系中心「Sagittarius A*」這樣的超大質量「黑洞」，理應有更大量的噴出物，可是利用傳統觀測方法，一直無法確認。直到去年天文學家利用來自 the Chandra X-ray Observatory 最新 X-光（紫色）和無線電波（藍色）的觀測技術，終於證實這些噴發物存在的證據（Reference: Evidence for A Parsec-scale Jet from The Galactic Center Black Hole: Interaction with Local Gas accepted in the Astrophysical Journal）。下圖（credit：X-ray: NASA/CXC/UCLA/Z.Li et al; Radio: NRAO/VLA）即是利用所得數據組合而成的圖片（紫色為得自X-光的圖像，而藍色來自無線電波的數據），圖中也同時標出這些高能量的噴發物，由「黑洞」周緣爆發出來後，撞上彌漫在遠處（約好幾光年遠）的氣體後，所造成「撞擊前沿（shock front）」。

其次，進一步的研究指出，「黑洞」大都是在宇宙形成（約 138 億年前）後的 4-8 億年間所形成。下圖（credit: NASA WMAP Science Team; K. Teramura, UHifA; NASA/JPL-Caltech, A. Kashlinsky (GSFC); NASA/ESA, S. Beckwith (STScl), Hudf Team）所示，左邊為「宇宙的微波背景圖（cosmic microwave background；見前「部落格文DDS008」的說明）」，它代表最早期的宇宙，其溫度的分佈和變化，這些溫度的些微不同，又代表著密度的大小差異，其中密度大者，最終就形成了，我們今日所見的各銀河星體。此後，宇宙進入一，歷時幾億年的「黑暗期（Dark Age）」，直到第一個星體形成後，熾射出第一道光芒為止。在此同時，「黑洞」也開始聚引其周遭氣體，逐步增長。在這些過程中，有部分的紅外線（infrared）和 X-光射線（X-ray），迄今仍保留在宇宙中，能被科學家們所偵測得到。利用研判此類射線的強度分佈變化，科學家們相信，「黑洞」在早期宇宙中的「活動力（activity）」，至少數百倍髙於現今的活力。

事實上，在漫長的宇宙演化史中，科學家們咸信，這些星體由於其燃燒殆盡，塌陷成為「黑洞」的個數（看不到了），遠較現今我們所能觀測到的星體（以我們地球所在的銀河系來說，就有數千億之多），為數絶對多多了。也就是因為它們的存在以及所造成的「引力」，才使得我們的銀河能如此快速的旋轉（因為，若僅以目前可見的星體數，是絶不可能的）。（待續）