DDS039-「2014年的 Pi Day」

時光飛逝，自去年三月我開始撰寫這個「布落格/博客（blog）」以來，轉眼間已屆一年，累積閱讀人次，已超過 12,325 人次，平均每篇㸃閲人數為 325 人，最高紀錄為 636 人，在此謝謝大家的支持，特別是有許多讀者，適時給了我許多寶貴的意見和指正，也再三致上我由衷的感激和謝忱，說實話，沒有你們的熱烈迴響和呵護，我個人是無法支撑這麼久的。

回想第一篇短文，肇始於去年的三月十四日，即所謂的「Pi Day」，它的意義有三：一是，這三月十四日，正巧是圓周率（π）的最佳近似值（3.14）；二是，這一天為「愛因斯坦」的生日；三是，那一天也是「奚氏玻子（Higgs Boson）」首度被實驗證實存在旳日子（參見 DDS001、DDS002、DDS003）。無獨有偶，同樣的三月，今年（三月十七日），科學家們成功偵測到「宇宙大爆炸（the Big Bang）；參見前文DDS006 和 DDS007」時的光波圖樣（light-wave pattern），如同去年「奚氏玻子」的發現，導致以「奚格斯（Peter Higgs）」教授為首的科學團隊，獲頒去年的「諾貝爾物理學獎」，論者咸信，今年這項難能的發現（discovery），也很可能贏得今年的「諾貝爾物理學獎」。

當然是否真能贏得這項「諾貝爾物理學獎」的科學桂冠是一回事，最重要的是，這代表二十五年來，天文學上最偉大的一項突破（上次是確認宇宙不但持續在膨脹，而且是加速膨脹；參見前 DDS027 文），讓我們對宇宙的起源（甚至萬物包括我們人類為何存在），能有更進一步的了解。這項突破，也頓時迎來所有媒體的關注和報導（台灣媒體當然也不例外，其中部分原因，固是因為該科研團隊中，有位來自台灣的美籍學者）。有關這項科學成果的介紹，容我在往後的短文中，再為大家詳細説明。

趁著現在還是三月天，讓我們就先回到「Pi Day」和「愛因斯坦」這個主題上來。在我近來的閱讀中，驚然發現，有一作者（Sean Carroll），以「愛因斯坦和 Pi（Einstein and Pi）」為題，發佈在網路上的短文（Reference and credit: http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/03/13/einstein-and-pi/），對「廣義相對論」公式中「π」的由來，做了一個鞭闢入理，但又淺顯易懂的解説，堪稱「科普」的經典之作，也讓我興起將它整理改寫的念頭，以與讀者分享。當然，有興趣也有起碼語文和數理能力的讀者，不妨逕自上綱查閲該文，相信你的體悟會比不材的我更深。我常想，一個真正的好科學，就是那些能以最簡單的數理公式，說明一個繁複的物理現象，而一個真正的好學者，就是能將繁複數理公式，背後所代表的事物真相，以最平易的方式予以表達。

在未正式介紹該文的實質內容前，容我先説一下我的另一個感想（算是一種讀後心得吧），那就是，「愛因斯坦」的偉大和迎得世人的推崇，其實並不在於他的科學成就（如「狹義/特殊」和「廣義/一般」相對論等），而是在於他能善用已知的數理參數，來譂釋新的物理現象。最有名的例子，就是大家耳熟能詳的 E = mc² 這個方程式，質量（m）蕴含能量（E），這在科學界是大家早已習知的事，但要把兩者勾串在一起，還需要一個參數/常數（parameter/constant），「愛因斯坦」的厲害就在這裡，他利用當時已知的光速（c）做為常數，推演出 E = mc² 這個現今大家耳熟能詳的方程式，説起來，他只用了三個數理符號，就道盡了宇宙亙古千百事，你能不服氣嗎？！

同樣經典的是，其「廣義相對論」中的「引力」公式（見下）。這公式窄看之下似乎相當複雜，特別是那些奇奇怪怪的符號，到底代表的是何方神聖？讀者老爺，你先別急，就把這公式當做是某種你不懂的外語，你只要知道它到底在説什麼即可。

事實上，這公式只是想告訴你：

「引力（gravity）」= 8 π G x「能量（energy）和動量（momentum）」

也就是説，「引力」是「能量和動量」的函數，其關係常數為「8πG」，其中 「G」為牛頓的「萬有引力常數」。即以此公式而言，你應該已發現其中有個「Pi（π）」出現了，因此，我們要問的是：同樣談的是「引力」，為什麼當我們從牛頓的「引力」，轉換成愛因斯坦相對論的「引力」時，卻平白無故的跑出了個 π（即圓周率）來？

要回答這問題，其實也不難，讓我省略掉繁複的數理公式演算，直接用白話文來告訴你，其中幾個最關鍵的基本概念。首先，你知道牛頓的「引力」公式為：

其次，任何兩物體間，彼此所引發的「引力場（the gravitational potential field；通常以「 Φ 」來標記）」為：

到現在，你還沒看到「π」出現在公式裡，先別急，這主要是因為，我們目前還只是針對單一個物體的「引力」效應，要是我們探討的是許多物體，同時呈現在三維空間中，那它們彼此間相互影響的「引力」，就必須涉及每單位體積中呈現的質量（稱為「質量密度（mass density）」；通常以「ρ」表之），將這「引力場（ Φ ）」和「質量密度（ρ）」間的關係，以 Poisson’s equation 表之，即可得以下公式：

這下，你看，盼了半天，「π」總算出現了，至於公式中那倒三角形符號（稱為 gradient operator），只是一種數學運算上的轉換，主要是用來描述「引力場」在三維空間上的變動方式。最後，你當然不要忘，既然是探討三維空間中，各個物體間的相互「引力」效應，你可以把每個單一物體，視為一個球體的中心，向外延伸若干距離（r；即該球體的半徑），此時該球體的表面積（A）為：

㯫此，「愛因斯坦」發現，要描述「引力」這個現象，不要單單從兩物體間的作用力來看（即「牛頓」的看法），應以「引力場」的概念來理解，而這「引力場」的計算，又必須透過球面的積分，加總而來，既然如此（因扯上了球面），那當然就和「π」成正比了，也就是如其「廣義相對論」中的「引力」公式所示。

         回到文首「愛因斯坦」的「引力」公式，你也可以發現，左邊的常數為 「8πG」，其實「愛因斯坦」在推導這「引力」公式時，大可自己再創造一個新的參數符號，來代替此「8πG」，但是他並沒有這樣做，還是借用大家習知的參數「π」和「G」，你説他慧黠睿智也好，他本性純良也好，總之，這種純一的人格特質，才是我們後輩學者，理應師法的為學態度。謹以此文，追念今年「愛因斯坦」第 135 歲的生日（三月十四日；Pi Day）。